변동성 예측 모델 GARCH Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity 모델의 이해와 활용

변동성 예측 모델: GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) 모델의 이해와 활용

Overview

변동성 예측은 금융 시장에서 가격 변동을 예측하고 관리하는 데 중요한 역할을 합니다. 변동성이란 자산 가격의 변동 폭을 의미하며, 이는 투자자들이 리스크를 평가하고 포트폴리오를 최적화하는 데 필수적인 요소입니다. GARCH 모델(Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)은 이러한 변동성을 예측하는 데 사용되는 대표적인 통계적 모델로, 자산 가격의 변동성이 시간에 따라 어떻게 변화하는지를 추정합니다. 이 모델은 특히 금융 데이터에서 자주 나타나는 "조건부 이분산성"(conditional heteroskedasticity)이라는 특성을 잘 설명해줍니다.

이 글에서는 GARCH 모델의 개념, 구성 요소, 수학적 정의, 사용 방법, 그리고 실제 활용 사례를 상세히 설명합니다.

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1. GARCH 모델의 기본 개념

GARCH 모델은 1980년대에 Robert Engle와 Tim Bollerslev에 의해 개발되었으며, 시간에 따른 금융 자산의 가격 변동성을 예측하는 데 사용됩니다. 특히 금융 데이터에서는 변동성이 일정하지 않고 시간에 따라 변화하는 특성을 보입니다. 예를 들어, 주식 시장에서 큰 사건(예: 금융 위기) 후에는 변동성이 급격히 증가할 수 있습니다. GARCH 모델은 이러한 변동성을 모델링하기 위해 과거의 변동성과 오류 항목을 고려합니다.

조건부 이분산성(Conditional Heteroskedasticity)

금융 데이터에서 자주 보이는 특성 중 하나는 "조건부 이분산성"입니다. 이는 현재 시점에서의 변동성이 과거의 가격 변동성에 의존하고 있다는 의미입니다. 예를 들어, 과거의 큰 변동성이 현재의 변동성에 영향을 미친다고 볼 수 있습니다. GARCH 모델은 이 현상을 수학적으로 잘 설명할 수 있도록 설계되었습니다.

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2. GARCH 모델의 수학적 정의

GARCH 모델은 ARMA(Autoregressive Moving Average) 모델과 비슷한 방식으로 작동하지만, 주로 "변동성" 또는 "오차 항의 분산"을 예측하는 데 초점을 맞춥니다. 기본적인 GARCH 모델(GARCH(p, q))의 수학적 구조는 다음과 같습니다:

수식

GARCH(p, q) 모델에서, 시점 ( t )의 변동성 ( \sigma_t^2 )는 다음과 같은 수식으로 나타낼 수 있습니다:

[
\sigma_t^2 = \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_i \epsilon_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^p \beta_j \sigma_{t-j}^2
]

• ( \sigma_t^2 ): 현재 시점 ( t )에서의 조건부 분산 (변동성)
• ( \epsilon_{t-i}^2 ): 과거 시점 ( t-i )에서의 오차 제곱 (과거의 가격 변동)
• ( \alpha_0 ): 상수 항 (일반적으로 0 이상)
• ( \alpha_i ): 과거 오차 항의 가중치
• ( \beta_j ): 과거 변동성의 가중치

GARCH 모델의 구성 요소

• ( \alpha_0 )는 항상 0 이상이어야 하며, 변동성의 기본 수준을 나타냅니다.
• ( \alpha_i )는 과거의 잔차(오차 항)의 제곱을 고려하여 현재의 변동성을 어떻게 예측할지를 결정하는 계수입니다.
• ( \beta_j )는 과거의 변동성(자기회귀항)을 반영하여 현재 변동성을 예측하는 계수입니다.

이 모델에서 가장 중요한 점은 과거의 변동성과 오차 제곱이 현재의 변동성에 어떻게 영향을 미치는지를 설명한다는 것입니다.

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3. GARCH 모델의 활용

GARCH 모델은 다양한 금융 시장에서 변동성을 예측하는 데 유용합니다. 주요 활용 분야로는 다음과 같습니다:

• 주식 시장 예측: 주식의 가격 변동성을 예측하여 투자자들이 리스크를 관리할 수 있도록 돕습니다.
• 옵션 가격 모델링: 옵션의 가격은 기초 자산의 변동성에 큰 영향을 받습니다. GARCH 모델을 통해 향후 변동성을 예측하고 이를 바탕으로 옵션 가격을 계산할 수 있습니다.
• 금리 및 환율 예측: 금리와 환율의 변동성도 GARCH 모델을 통해 예측 가능하며, 이를 통해 국가 간 금융 거래를 최적화할 수 있습니다.

예시: 주식 시장에서의 변동성 예측

가령, 특정 주식의 가격 변동성을 예측하고자 할 때, GARCH 모델을 활용할 수 있습니다. 주식의 수익률 데이터를 기반으로 GARCH 모델을 피팅(fitting)시켜 변동성을 예측하는 방법은 다음과 같습니다:

1. 수익률 데이터 수집: 주식의 일일 수익률을 구합니다. (예: (\text{수익률} = \frac{\text{현재 가격} - \text{이전 가격}}{\text{이전 가격}}))
2. GARCH 모델 피팅: 과거의 수익률 데이터를 기반으로 GARCH 모델을 학습시킵니다.
3. 변동성 예측: 학습된 GARCH 모델을 사용해 향후 몇 일간의 변동성을 예측합니다.

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4. GARCH 모델을 사용하는 방법

GARCH 모델을 구현하는 방법은 여러 가지가 있지만, 가장 대표적인 방법은 Python의 arch 라이브러리를 사용하는 것입니다. arch 라이브러리는 GARCH 모델뿐만 아니라 다양한 변동성 예측 모델을 제공하며, 사용하기 매우 쉽습니다.

Python 코드 예시

import numpy as np
import pandas as pd
from arch import arch_model
import matplotlib.pyplot as plt

# 주식 수익률 데이터 예시 (가상의 데이터)
data = pd.Series(np.random.randn(1000))

# GARCH(1, 1) 모델 정의
model = arch_model(data, vol='Garch', p=1, q=1)

# 모델 학습
model_fit = model.fit()

# 향후 10일의 변동성 예측
forecast = model_fit.forecast(horizon=10)
print(forecast.variance[-1:])

# 예측된 변동성을 그래프로 표시
plt.plot(forecast.variance.values[-1, :])
plt.title('Forecasted Volatility')
plt.show()

위 코드에서:

• arch_model은 GARCH 모델을 정의하는 함수입니다.
• vol='Garch'는 GARCH 모델을 사용한다는 의미입니다.
• p=1, q=1은 GARCH(1, 1) 모델을 의미하며, 이는 한 개의 과거 오차 항과 한 개의 과거 변동성을 반영하는 모델입니다.

주요 출력

• forecast.variance[-1:]는 향후 10일간의 변동성을 예측한 결과입니다. 이 값을 이용해 투자 전략을 수립할 수 있습니다.

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5. GARCH 모델의 한계와 문제점

GARCH 모델은 매우 유용하지만 몇 가지 한계도 존재합니다:

• 비정상적 시장 상황에 대한 취약성: 금융 위기나 매우 비정상적인 시장 상황에서는 GARCH 모델이 정확하지 않을 수 있습니다. 이는 GARCH 모델이 과거 데이터를 기반으로 예측을 하기 때문에, 예기치 않은 이벤트에는 취약할 수 있습니다.
• 비선형성: GARCH 모델은 기본적으로 선형 모델입니다. 그러나 실제 금융 시장의 변동성은 종종 비선형적인 특성을 보이므로, 이를 정확히 반영하기 어려운 경우가 있습니다.
• 모델의 과적합(overfitting): GARCH 모델이 지나치게 과거 데이터를 반영하려 할 경우, 새로운 데이터를 예측하는 데 성능이 저하될 수 있습니다. 과적합을 방지하기 위한 다양한 기법이 필요합니다.

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6. 참고문서

• Bollerslev, T. (1986). "Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity." Journal of Econometrics.
• Engle, R. F. (1982). "Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation." Econometrica.
• Python arch 라이브러리 공식 문서: https://arch.readthedocs.io/en/latest/

GARCH 모델은 금융 데이터의 변동성을 예측하는 데 중요한 도구이며, 다양한 금융 분야에서 활용되고 있습니다. 이를 통해 투자자는 더 나은 리스크 관리와 포트폴리오 최적화를 할 수 있습니다.