블랙숄즈 모델을 활용한 주식 가격 변동성 예측 및 미래 가격 추정

블랙-숄즈 모델을 활용한 주식 가격 변동성 예측 및 미래 가격 추정

Overview

블랙-숄즈 모델(Black-Scholes model)은 주식 옵션 가격을 예측하는 데 널리 사용되는 수학적 모델입니다. 이 모델은 주식의 현재 가격, 행사가격, 만기일, 무위험 이자율, 주식의 변동성(volatility) 등을 기반으로 옵션의 이론적인 가치를 계산합니다. 하지만 이 모델은 단순히 옵션 가격 예측에만 그치지 않고, 주식 가격의 변동성이나 미래 가격 변동 예측에도 활용될 수 있습니다. 이번 글에서는 블랙-숄즈 모델을 어떻게 주식 가격 변동성 예측 및 미래 가격 움직임 예측에 적용할 수 있는지에 대해 자세히 설명합니다.

블랙-숄즈 모델의 기본 개념

블랙-숄즈 모델은 1973년, 경제학자 피셔 블랙(Fisher Black)과 마이런 숄즈(Myron Scholes)가 발표한 옵션 가격 결정 이론입니다. 이 모델은 주식 옵션 가격을 산출할 때 다음과 같은 중요한 요소들을 고려합니다:

1. 현재 주식 가격 (S): 주식의 현재 시장 가격
2. 행사가격 (K): 옵션의 행사 가격, 즉 옵션이 행사될 때 주식을 사거나 팔 수 있는 가격
3. 만기일 (T): 옵션이 만료되는 날짜까지의 시간
4. 무위험 이자율 (r): 국채와 같은 안전한 자산에서 얻을 수 있는 이자율
5. 주식의 변동성 (σ): 주식 가격이 시간에 따라 변동하는 정도

블랙-숄즈 모델의 핵심 공식은 다음과 같습니다:

콜 옵션 가격 (Call Option Price) 공식:

[ C = S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2) ]

풋 옵션 가격 (Put Option Price) 공식:

[ P = K e^{-rT} N(-d_2) - S_0 N(-d_1) ]

여기서,

• ( N(x) ): 표준 정규 분포의 누적 분포 함수
• ( S_0 ): 현재 주식 가격
• ( K ): 옵션의 행사 가격
• ( T ): 만기까지 남은 시간
• ( r ): 무위험 이자율
• ( \sigma ): 주식의 변동성
• ( d_1 )과 ( d_2 ): 계산식은 아래와 같습니다.

[
d_1 = \frac{\ln(S_0 / K) + (r + \frac{\sigma^2}{2}) T}{\sigma \sqrt{T}}
]

[
d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}
]

이 모델을 사용하면 주식 옵션의 이론적인 가격을 구할 수 있지만, 여기서 중요한 점은 주식의 변동성(σ)를 어떻게 추정하느냐입니다. 이 변동성이 바로 주식 가격의 변동성 예측에 중요한 역할을 합니다.

변동성 예측에 블랙-숄즈 모델의 응용

변동성(Volatility)은 주식 가격이 시간에 따라 얼마나 변동하는지를 나타내는 중요한 지표입니다. 블랙-숄즈 모델에서 변동성은 주식 가격의 미래 변동을 예측하는 데 중요한 역할을 합니다. 이 모델을 통해 주식의 변동성을 예측하려면 과거 데이터를 바탕으로 히스토리컬 변동성 또는 암시적 변동성을 추정할 수 있습니다.

1. 히스토리컬 변동성

히스토리컬 변동성은 과거의 주식 가격 데이터를 통해 계산된 변동성입니다. 이 값을 블랙-숄즈 모델에 입력하여 미래 가격의 움직임을 예측할 수 있습니다. 예를 들어, 주식의 가격 변화가 일정 기간 동안 어떤 패턴을 보였는지 분석하여, 변동성의 과거 추세를 바탕으로 미래를 예측하는 것입니다.

히스토리컬 변동성 계산 방법:

import numpy as np
import pandas as pd

# 주식 가격 데이터 (예시)
stock_prices = pd.Series([100, 102, 101, 105, 104, 107, 106])

# 일간 로그 수익률 계산
log_returns = np.log(stock_prices / stock_prices.shift(1))

# 변동성 계산 (일간 표준편차 * √252를 곱하여 연간 변동성 추정)
volatility = log_returns.std() * np.sqrt(252)
print(f"히스토리컬 변동성: {volatility:.2%}")

이 코드에서는 주식 가격 데이터를 바탕으로 일간 로그 수익률을 계산하고, 이를 이용해 연간 변동성을 추정합니다. 이렇게 계산된 변동성은 블랙-숄즈 모델에 입력하여 옵션 가격을 예측할 때 유용하게 사용될 수 있습니다.

2. 암시적 변동성

암시적 변동성(Implied Volatility)은 시장에서 거래되는 옵션의 가격을 통해 유도할 수 있는 변동성입니다. 즉, 시장에서 실제로 거래되는 옵션의 가격을 사용하여 현재 시장 참가자들이 예상하는 미래의 변동성을 추정하는 방법입니다. 암시적 변동성은 블랙-숄즈 모델의 공식에서 옵션 가격을 주어진 변수들로 풀어내는 방식으로 계산됩니다.

예를 들어, 옵션 가격이 주어졌을 때, 블랙-숄즈 모델을 통해 변동성을 역으로 추정할 수 있습니다. 이를 위해 수치적 해법(예: 뉴턴-랩슨 방법)을 사용하여 변동성을 구합니다.

주식 가격의 미래 예측

블랙-숄즈 모델은 주식 옵션의 가격을 구하는 데 주로 사용되지만, 이를 응용하면 주식의 미래 가격 예측에도 활용할 수 있습니다. 주식의 미래 가격 예측은 기본적으로 주식의 현재 가격, 무위험 이자율, 변동성, 그리고 시간 등의 요소를 고려하는 작업입니다.

예를 들어, 주식의 현재 가격과 변동성, 무위험 이자율, 만기 시간을 알고 있다면, 블랙-숄즈 모델을 통해 해당 주식의 가격 변동 범위나 대체적인 방향성을 예측할 수 있습니다. 예측 방법은 다음과 같습니다:

1. 주식의 상승/하락 가능성: 블랙-숄즈 모델에서 변동성은 주식 가격의 상향 또는 하향 가능성에 대한 정보를 제공합니다. 변동성이 클수록, 주식 가격은 더 큰 범위에서 움직일 가능성이 큽니다.
2. 가격 예측 범위: 블랙-숄즈 모델을 사용하여 주식의 95% 신뢰 구간을 추정할 수 있습니다. 이는 주식 가격이 예상 변동성 범위 내에서 움직일 확률이 95%임을 의미합니다.

예시 코드: 주식 가격 예측

import math
from scipy.stats import norm

# 블랙-숄즈 모델을 활용한 예측
def black_scholes_predict(S, K, T, r, sigma):
d1 = (math.log(S / K) + (r + 0.5 * sigma**2) * T) / (sigma * math.sqrt(T))
d2 = d1 - sigma * math.sqrt(T)
call_price = S * norm.cdf(d1) - K * math.exp(-r * T) * norm.cdf(d2)
put_price = K * math.exp(-r * T) * norm.cdf(-d2) - S * norm.cdf(-d1)
return call_price, put_price

# 예시 값
S = 100  # 현재 주식 가격
K = 100  # 행사가격
T = 1    # 만기까지 남은 시간 (1년)
r = 0.05  # 무위험 이자율 (5%)
sigma = 0.2  # 연간 변동성 (20%)

call_price, put_price = black_scholes_predict(S, K, T, r, sigma)
print(f"콜 옵션 가격: {call_price:.2f}, 풋 옵션 가격: {put_price:.2f}")

위 코드는 블랙-숄즈 모델을 사용하여 주식의 콜 및 풋 옵션 가격을 예측합니다. 이를 통해 시장의 움직임을 파악하고, 미래의 주식 가격 변동 범위를 추정할 수 있습니다.

블랙-숄즈 모델의 한계

블랙-숄즈 모델은 매우 강력한 도구지만, 몇 가지 한계점도 존재합니다. 예를 들어, 이 모델은 주식 가격의 변동성이 일정하다고 가정합니다. 실제로 주식의 변동성은 시간이 지남에 따라 변할 수 있기 때문에, 변동성이 변화하는 상황에서는 이 모델이 정확한 예측을 하지 못할 수 있습니다. 또한, 모델은 **