푸리에 변환을 활용한 주식 가격 분석 주식 가격에서 주기적인 패턴을 찾는 방법

푸리에 변환을 활용한 주식 가격 분석: 주식 가격에서 주기적인 패턴을 찾는 방법

Overview

푸리에 변환(Fourier Transform)은 시간 영역(time domain)의 데이터를 주파수 영역(frequency domain)으로 변환하는 수학적 기법으로, 주식 가격 분석을 비롯한 다양한 분야에서 주기적인 패턴을 찾고, 신호를 분해하는 데 사용됩니다. 주식 시장은 매우 복잡한 시스템이지만, 푸리에 변환을 활용하면 가격 움직임에서 반복적인 주기적 패턴을 감지할 수 있어, 트렌드 분석이나 예측 모델링에 유용하게 활용될 수 있습니다.

이번 글에서는 푸리에 변환의 기초부터 시작해, 이를 주식 가격 분석에 어떻게 적용할 수 있는지 구체적인 예시와 함께 다루어보겠습니다.

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1. 푸리에 변환의 기본 개념

푸리에 변환은 18세기 프랑스 수학자 장-밥티스트 푸리에(Jean-Baptiste Fourier)가 제시한 수학적 기법으로, 주어진 신호를 여러 개의 주파수 성분으로 분해하는 방법입니다. 기본적으로 시간 영역에서 관찰되는 데이터는 여러 주파수 성분들이 합쳐진 결과이기 때문에, 이 데이터를 주파수 성분으로 분해하면 어떤 패턴이 주기적으로 반복되는지 알 수 있습니다.

푸리에 변환의 수학적 정의

푸리에 변환은 다음과 같은 수식으로 정의됩니다:

[
X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-i 2 \pi f t} dt
]

여기서:

• ( x(t) ): 시간 도메인에서의 함수 (주식 가격 데이터와 같은 시계열 데이터)
• ( X(f) ): 주파수 도메인에서의 함수
• ( f ): 주파수
• ( e^{-i 2 \pi f t} ): 복소수 지수 함수로, 주파수 성분을 나타냄

푸리에 변환을 통해 시간 도메인의 데이터가 주파수 성분으로 변환되면, 각 성분이 데이터에서 얼마나 중요한지, 어떤 주파수 성분이 주로 포함되는지 알 수 있습니다.

푸리에 변환의 직관적인 해석

푸리에 변환은 사실상 “파동 함수들”로 신호를 분해하는 것입니다. 예를 들어, 주식 가격이 시간에 따라 변하는 데이터를 푸리에 변환하면, 가격 변동이 어떤 주파수 성분으로 이루어져 있는지 알 수 있습니다. 만약 주식 가격에 주기적인 패턴이 있다면, 푸리에 변환을 통해 이를 감지할 수 있습니다. 이는 주식 시장의 주기적인 변동성이나 계절적 변동을 분석하는 데 유용합니다.

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2. 푸리에 변환을 활용한 주식 가격 분석

2.1. 주식 가격의 시간적 변화

주식 시장에서 주식 가격은 일반적으로 시간이 지남에 따라 변화합니다. 이러한 가격 변동은 여러 요소들(경제 지표, 기업 실적, 뉴스 등)에 의해 영향을 받지만, 그 안에 주기적 패턴이 숨어 있을 수 있습니다. 예를 들어, 특정 시간에 따라 반복되는 주기적 패턴이 있을 수 있습니다.

• 일일 주기: 주식 시장은 하루를 기준으로 가격이 움직이며, 하루 중 특정 시간에 가격 변동이 급격히 일어날 수 있습니다.
• 주간, 월간 주기: 특정 요일이나 월말에 주식 가격이 변동하는 경향도 있을 수 있습니다.
• 연간 주기: 계절적 변동성이나 특정 연도에 발생하는 경제적 이벤트가 주식 가격에 영향을 미칠 수 있습니다.

푸리에 변환을 사용하면 이러한 주기적인 패턴을 찾아내어, 가격 변동이 주기적인 성향을 띠고 있는지, 아니면 단기적인 변동에 의해 발생한 일시적인 현상인지 판단할 수 있습니다.

2.2. 푸리에 변환을 통한 주기적 패턴 분석

푸리에 변환을 이용해 주식 가격의 시계열 데이터를 변환하면, 각 주파수 성분에 해당하는 패턴을 식별할 수 있습니다. 이 과정에서 중요한 것은 주파수 스펙트럼입니다. 주파수 스펙트럼은 각 주파수 성분이 신호에서 차지하는 비율을 나타내며, 이를 통해 다음과 같은 정보를 얻을 수 있습니다:

• 주기성 확인: 가격 변동이 반복되는 주기적인 패턴을 가지는지 확인
• 주파수 대역 선택: 특정 주파수 대역을 강조하여, 시장의 특정 변동성을 분석

예시: 주식 가격 데이터의 푸리에 변환

다음은 파이썬을 사용하여 주식 가격 데이터를 푸리에 변환하는 예시입니다.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
import yfinance as yf

# 주식 데이터 다운로드
stock_data = yf.download('AAPL', start='2020-01-01', end='2023-01-01')

# 종가 데이터 추출
closing_prices = stock_data['Close']

# 푸리에 변환
price_fft = np.fft.fft(closing_prices)

# 주파수 성분 추출
frequencies = np.fft.fftfreq(len(closing_prices))

# 절대값으로 주파수 성분 크기 확인
magnitude = np.abs(price_fft)

# 주파수 스펙트럼 시각화
plt.figure(figsize=(10,6))
plt.plot(frequencies[:len(frequencies)//2], magnitude[:len(magnitude)//2])
plt.title('Fourier Transform - Stock Price Frequency Spectrum')
plt.xlabel('Frequency')
plt.ylabel('Magnitude')
plt.show()

이 코드는 애플(AAPL)의 주식 데이터를 다운로드하고, 이를 푸리에 변환하여 주파수 성분의 크기를 시각화합니다. 주파수 스펙트럼에서 특정 주파수가 두드러진다면, 해당 주파수는 주식 가격에서 반복적인 변동이 나타나는 주기를 의미할 수 있습니다.

주파수 스펙트럼 해석

주파수 스펙트럼에서 특정 주파수가 두드러지면, 해당 주파수는 시장의 주기적인 변동을 나타냅니다. 예를 들어, 가격의 주기가 일주일 단위로 반복된다면, 푸리에 변환 결과에서 일주일 주기를 가진 주파수가 높은 값을 가지게 됩니다. 이를 통해 우리는 특정 기간마다 가격 변동이 반복되는 패턴을 파악할 수 있습니다.

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3. 푸리에 변환을 통한 예측

푸리에 변환은 단지 데이터를 분석하는 도구일 뿐만 아니라, 예측에도 활용될 수 있습니다. 예측 과정에서 푸리에 변환을 통해 중요한 주파수 성분을 식별한 후, 이를 다시 시간 도메인으로 변환하여 향후 가격 변동을 예측할 수 있습니다.

3.1. 주파수 성분을 이용한 예측

푸리에 변환을 통해 얻은 주파수 성분을 사용하여, 데이터의 주기적인 성질을 모델링하고 예측할 수 있습니다. 예를 들어, 가격 변동이 일정한 주기로 반복된다고 가정할 때, 이 주기를 기반으로 향후 가격을 예측할 수 있습니다.

3.2. 푸리에 변환 후 역변환을 통한 예측

역푸리에 변환(inverse Fourier transform)을 사용하여, 주파수 도메인에서 변환된 데이터를 다시 시간 도메인으로 복원하여 예측값을 생성할 수 있습니다.

# 역푸리에 변환을 통해 예측값 복원
predicted_prices = np.fft.ifft(price_fft)

# 예측값 시각화
plt.plot(closing_prices.index, closing_prices, label='Actual Prices')
plt.plot(closing_prices.index, predicted_prices.real, label='Predicted Prices', linestyle='--')
plt.legend()
plt.title('Stock Price Prediction using Fourier Transform')
plt.show()

위 예시에서 np.fft.ifft()를 사용하여 주파수 도메인에서의 예측값을 다시 시간 도메인으로 복원한 후, 실제 가격과 비교할 수 있습니다. 예측이 성공적으로 이루어졌다면, 푸리에 변환이 주식 가격 예측에 유용한 도구가 될 수 있습니다.

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4. 푸리에 변환을 사용할 때의 주의사항

• 잡음과 왜곡: 주식 가격은 주로 여러 복잡한 요인에 의해 영향을 받기 때문에, 푸리에 변환을 통해 얻은 결과가 항상 완벽한 예측을 제공하지는 않습니다. 잡음이나 예기치 않은 변동성으로 인해 왜곡된 결과가 나올 수 있습니다.
• 해상도 문제: 푸리에 변환의 해상도는 데이터의 길이에 따라 달라지며, 짧은 기간의 데이터에서는 주기적인 패턴을 명확히